代数数域

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提示:本条目的主题不是数域,也不是全体代数数构成的域。

代数数域数学代数数论的基本概念,数域的一类,有时也被简称为数域,指有理数有限扩张形成的扩域[1][2]。任何代数数域都可以视作上的有限维向量空间

对代数数域的研究,或者更一般地说,对有理数域的代数扩张的研究,是代数数论的中心主题。

定义

预备知识

代数数域是的一类。域是装备了两个二元运算(通常称之为“加法”、“乘法”)的代数系统。这两种运算各自满足结合律交换律,完全可逆,同时乘法对加法满足分配律(详细定义参见)。域的一个重要的例子是有理数域

域的扩张

域的扩张研究各类域之间的关系,最早的应用包括多项式方程一般求根公式问题等。在给定的域F中加入不属于此域的元素(一般以集合S纪录),规定相互间的运算法则后,“最小的”将它们都包含在内的域[N 1]L称为“F(添加S中元素得到)的扩域”。称FL的子域。一般将“FL的域扩张”记作FLL/F

向量空间

另一个基础概念是向量空间。向量空间,特别是有限维向量空间的概念是三维空间以及其中向量概念的推广(具体定义参见向量空间条目)。以某个域F为系数域的向量空间(通常称作F上的向量空间或F-向量空间),其中的向量除了可以相加减,还可以乘以F中元素进行放缩。有限维的向量空间可以借助其中的有限个向量来刻画。这些向量之间必须满足特定的条件,称为空间的。选定了空间的基以后,空间里的任何向量都可以表达为以F中元素组成的有序数组。其中的n是基中向量的个数,也称为空间的维数。

有限扩张

L是域F的一个扩域。将L中的元素看作向量,以F作为系数域,可以证明L是一个F-向量空间。如果这个向量空间是有限维的,就称LF的有限扩张。L作为F-向量空间的维数,称为扩张的次数,记作[L : F]

定义

若域L是有理数域的有限扩张,则称之为代数数域[3]:3