数论

數論纯粹数学的分支之一,主要研究整数的性質。被譽為「最純」的數學領域。

正整数按乘法性质划分,可以分成質数合数1,質数產生了很多一般人能理解卻又懸而未解的問題,如哥德巴赫猜想孿生質數猜想等。即,很多問題虽然形式上十分初等,事实上却要用到许多艰深的数学知识。这一领域的研究从某种意义上推动了数学的发展,催生了大量的新思想和新方法。數論除了研究整數及質數外,也研究一些由整數衍生的數(如有理數)或是一些廣義的整數(如代數整數)。

整数可以是方程式的解(丟番圖方程)。有些解析函數(像黎曼ζ函數)中包括了一些整數、質數的性質,透過這些函數也可以了解一些數論的問題。透過數論也可以建立實數和有理數之間的關係,並且用有理數來逼近實數(丟番圖逼近)。

數論早期稱為算術。到20世紀初,才開始使用數論的名稱[1],而算術一詞則表示「基本運算」,不過在20世紀的後半,有部份數學家仍會用「算術」一詞來表示數論。1952年時數學家Harold Davenport仍用「高等算術」一詞來表示數論,戈弗雷·哈羅德·哈代愛德華·梅特蘭·賴特在1938年寫《數論介紹》簡介時曾提到「我們曾考慮過將書名改為《算術介紹》,某方面而言是更合適的書名,但也容易讓讀者誤會其中的內容」[2]

卡尔·弗里德里希·高斯曾說:「數學是科學的皇后,數論是數學的皇后。」[3]